《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例4 如图8-14,抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴交于$A(\sqrt{3},0)$,B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,且$OB = 3OA=\sqrt{3}OC$,∠OAC的平分线AD交y轴于点D,过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,交直线AD于点H. (1)求抛物线的解析式;

答案： $y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x - 3$
由$A(\sqrt{3},0)$，得OA=$\sqrt{3}$，OB=3OA=3$\sqrt{3}$，则B(-3$\sqrt{3}$,0)。
$\sqrt{3}OC=OB=3\sqrt{3}$，得OC=3，C(0,-3)。
设抛物线解析式为$y=a(x+\sqrt{3})(x-3\sqrt{3})$，将C(0,-3)代入：
$-3=a(\sqrt{3})(-3\sqrt{3})=-9a$，解得$a=\frac{1}{3}$。
故抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x+\sqrt{3})(x-3\sqrt{3})=\frac{1}{3}x^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x - 3$。