《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题3 我们继续思考刚才的问题．把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ'．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ'为菱形？

答案： 存在，$t=\frac{25}{13}$。
解析：
若四边形AQPQ'为菱形，则$AQ=PQ=2t$。
过P作$PD\perp AC$于D，$\triangle APD\sim\triangle ABC$，$\frac{AP}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{PD}{BC}$。$AP=10-2t$，$\frac{10-2t}{10}=\frac{AD}{8}=\frac{PD}{6}$，解得$AD=8-\frac{8}{5}t$，$PD=6-\frac{6}{5}t$。
$QD=AD-AQ=8-\frac{8}{5}t-2t=8-\frac{18}{5}t$。在$Rt\triangle PQD$中，$QD^2+PD^2=PQ^2$，即$\left(8-\frac{18}{5}t\right)^2+\left(6-\frac{6}{5}t\right)^2=(2t)^2$，解得$t_1=5$（舍去，$AQ=10＞AC=8$），$t_2=\frac{25}{13}$。