《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例3 如图7-8，AC是圆O的直径，AC=4，∠AOB=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么$OD + \frac{1}{2}BD$的最小值为______.

答案： √3
解析：
∵AC是直径，∠AOB=120°，
∴∠ABC=90°，∠C=60°。作BK//AC，DE⊥BK于E，∠DBE=∠BAC=30°，则DE=BD·sin30°=$\frac{1}{2}BD$，故$OD + \frac{1}{2}BD = OD + DE$。当O，D，E三点共线且OE⊥BK时，OD+DE取最小值OM（OM⊥BK于M）。在Rt△OBM中，OB=2，∠OBM=60°，OM=OB·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即最小值为√3。