《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例3 如图8-12,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD,BD,CD,则2AD+3BD的最小值是______.

答案： 12$\sqrt{10}$
2AD+3BD=3($\frac{2}{3}AD + BD$)，先求$\frac{2}{3}AD + BD$的最小值。
在线段CA上取点M，使CM=4，$\frac{CM}{CD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{CD}{CA}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，则$\frac{CM}{CD}=\frac{CD}{CA}$。
又∠MCD=∠DCA，故△CMD∽△CDA，$\frac{DM}{AD}=\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$，即DM=$\frac{2}{3}AD$。
$\frac{2}{3}AD + BD = DM + BD \geq BM$，当B,D,M三点共线时取等号。
在Rt△BMC中，BM=$\sqrt{CM^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 12^2}=4\sqrt{10}$。
2AD+3BD=3×4$\sqrt{10}$=12$\sqrt{10}$。