《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例5 如图8-16，抛物线$y = ax^2 + (a + 3)x + 3(a \neq 0)$与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m,0)(0 ＜ m ＜ 4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)设△PMN的周长为$C_1$，△AEN的周长为$C_2$，若$\frac{C_1}{C_2} = \frac{6}{5}$，求m的值；
(3)如图8-17，在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为$\alpha(0^\circ ＜ \alpha ＜ 90^\circ)$，连接E'A，E'B，求$E'A + \frac{2}{3}E'B$的最小值.

答案：
(1)将点A(4,0)代入抛物线$y = ax^2 + (a + 3)x + 3$，得$16a + 4(a + 3) + 3 = 0$，解得$a = -\frac{3}{4}$。抛物线解析式为$y = -\frac{3}{4}x^2 + \frac{9}{4}x + 3$，令x=0得B(0,3)。设直线AB解析式为$y = kx + b$，代入A(4,0)，B(0,3)，得$\begin{cases}4k + b = 0 \\ b = 3\end{cases}$，解得$k = -\frac{3}{4}$，$b = 3$，故直线AB解析式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$。
(2)由E(m,0)，得N(m, -\frac{3}{4}m + 3)，P(m, -\frac{3}{4}m^2 + \frac{9}{4}m + 3)，则PN = -\frac{3}{4}m^2 + \frac{9}{4}m + 3 - (-\frac{3}{4}m + 3) = -\frac{3}{4}m^2 + 3m。直线AB斜率为$-\frac{3}{4}$，则PM⊥AB，△PMN∽△AEN，相似比为$\frac{PN}{AN}$。AN = $\sqrt{(4 - m)^2 + (-\frac{3}{4}m + 3)^2} = \frac{5}{4}(4 - m)$，$\frac{C_1}{C_2} = \frac{PN}{AN} = \frac{-\frac{3}{4}m^2 + 3m}{\frac{5}{4}(4 - m)} = \frac{6}{5}$，解得m=2。
(3)由
(2)知OE=2，OE'=2。在y轴取M'(0, $\frac{4}{3}$)，则$OE'^2 = OM' \cdot OB$（$2^2 = \frac{4}{3} × 3$），且∠BOE'=∠M'OE'，故△M'OE'∽△E'OB，$\frac{M'E'}{BE'} = \frac{OE'}{OB} = \frac{2}{3}$，$M'E' = \frac{2}{3}BE'$。则$E'A + \frac{2}{3}E'B = E'A + M'E'$，当A、E'、M'共线时最小，最小值为AM' = $\sqrt{4^2 + (\frac{4}{3})^2} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$。