《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题2 在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把点P'$\left( \frac{1}{x},\frac{1}{y} \right)$称为点P的“倒影点”，直线y=-x+1上有两点A，B，它们的倒影点A'，B'均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上．若AB=$2\sqrt{2}$，则k=______．

答案： $-\frac{4}{3}$
设点A(a,-a+1)，B(b,-b+1)(a＜b)，则A'$\left( \frac{1}{a},\frac{1}{1-a} \right)$，B'$\left( \frac{1}{b},\frac{1}{1-b} \right)$．
AB=$\sqrt{(b-a)^2+[(-b+1)-(-a+1)]^2}=\sqrt{2(b-a)^2}=\sqrt{2}(b-a)=2\sqrt{2}$，得b=a+2．
∵A'，B'在$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=\frac{1}{a(1-a)}=\frac{1}{b(1-b)}$，即$a(1-a)=-(a+2)(a+1)$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，则$k=\frac{1}{-\frac{1}{2}×(1+\frac{1}{2})}=-\frac{4}{3}$．