《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题2 如图5-4，在△ABC中，AB=10 cm，AC=8 cm，BC=6 cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s．连接PQ，设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤4)．是否存在某时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？

答案： 不存在。
解析：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，若PQ平分面积，则$S_{\triangle AQP}=12$。
过P作$PD\perp AC$于D，$PD// BC$，则$\triangle APD\sim\triangle ABC$，$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{BC}$。$AP=10-2t$，$\frac{10-2t}{10}=\frac{PD}{6}$，解得$PD=6-\frac{6}{5}t$。
$S_{\triangle AQP}=\frac{1}{2}× AQ× PD=\frac{1}{2}×2t×\left(6-\frac{6}{5}t\right)=-\frac{6}{5}t^2+6t$。
令$-\frac{6}{5}t^2+6t=12$，化简得$t^2-5t+10=0$，$\Delta=25-40=-15＜0$，方程无实根，故不存在。