《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例3 如图1-15，点A，B在反比例函数$ y = \frac{1}{x}(x ＞ 0) $的图象上，点C，D在反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为$ \frac{3}{2} $，则k的值为______.

答案： 3
解析：点A在$ y = \frac{1}{x} $上，横坐标为1，所以A(1,1)；AC//y轴，C横坐标为1，C在$ y = \frac{k}{x} $上，所以C(1,k)，则$ AC = k - 1 $，$ S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} × 1 × (k - 1) = \frac{k - 1}{2} $。
点B在$ y = \frac{1}{x} $上，横坐标为2，所以B(2,$ \frac{1}{2} $)；BD//y轴，D横坐标为2，D在$ y = \frac{k}{x} $上，所以D(2,$ \frac{k}{2} $)，则$ BD = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} $，$ S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} × (2 - 1) × (\frac{k}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{k - 1}{2}) = \frac{k - 1}{4} $。
由题意得$ \frac{k - 1}{2} + \frac{k - 1}{4} = \frac{3}{2} $，即$ \frac{3(k - 1)}{4} = \frac{3}{2} $，解得$ k - 1 = 2 $，$ k = 3 $。