《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例4 如图7-10，在平面直角坐标系中，点A在抛物线$y=-x^{2}+4x$上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1,1)．
(1)求线段AB的长；
(2)若点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当$\triangle PBE$的面积最大时，求$PH + HF+\frac{1}{2}FO$的最小值．

答案：
(1)由题意，点A在抛物线$y=-x^{2}+4x$上，横坐标为1，代入得$y=-1+4=3$，即$A(1,3)$．抛物线对称轴为$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，点B与A关于对称轴对称，故B的横坐标为$2+(2-1)=3$，纵坐标与A相同为3，即$B(3,3)$．因此$AB=3-1=2$．
(2)设$P(m,-m^{2}+4m)$，直线BE的解析式为$y=x$（由点B(3,3)、E(1,1)可得）．作$PN// y$轴交BE于N，则$N(m,m)$，$\triangle PEB$的面积$S=\frac{1}{2}×2×(-m^{2}+3m)=-m^{2}+3m$，当$m=\frac{3}{2}$时面积最大，此时$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，$H(\frac{3}{2},3)$，$PH=\frac{15}{4}-3=\frac{3}{4}$．
作直线OG使$\angle COG=30^\circ$，$FK\perp OG$于K，则$FK=\frac{1}{2}FO$．过H作$HM\perp OG$于M，$PH + HF+\frac{1}{2}FO=PH + FH + FK\geq PH + HM$．由$\frac{1}{2}\cdot HG\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot OG\cdot HM$，计算得$HM=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}$，故最小值为$\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{9}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}$．