《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

如图10-18所示，边长为2的等边△ABC，点B在x轴的正半轴运动，∠BOD=30°，点A在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为多少？

答案： $2 + 2\sqrt{3}$
解析：设△OAB外接圆的圆心为E，半径为R，AB=2。由正弦定理$\frac{AB}{\sin\angle AOB}=2R$，$\angle AOB=30^\circ$，所以$2R=\frac{2}{\sin30^\circ}=4$，$R=2$。E在AB中垂线，作EF⊥AB于F，$EF=R\cos60^\circ=1$，$CF=\sqrt{3}$（等边△ABC的高）。当O、E、F、C共线时，OC最大，最大值为$OE + EF + CF=2 + 1 + \sqrt{3}=2 + 2\sqrt{3}$。

轴运动，∠BOD=30°，点A在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为多少？

答案： $2 + 2\sqrt{3}$
分析：定角∠BOD顶点不动，定长线段AB位置变化，△OAB外接圆半径不变。取AB中点F，外接圆圆心E，OE、EF、CF长度不变。当O，E，F，C四点共线时，OC最大，最大值为$OE + EF + CF = 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2 + 2\sqrt{3}。$