《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题5 如图4-16，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，求证：
(1)CD=CE；
(2)OE-OD=√2 OC；
(3)S△OCE - S△OCD = 1/2 OC²．

答案：
(1)过点C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N。
∵OC平分∠AOB，
∴CM=CN，∠MCN=90°=∠DCE，
∴∠MCD=∠NCE。
在△MCD和△NCE中，∠CMD=∠CNE=90°，CM=CN，∠MCD=∠NCE，
∴△MCD≌△NCE(ASA)，
∴CD=CE。
(2)由
(1)知MD=NE，OM=ON=√2/2 OC，
OE - OD=(ON + NE)-(MD - OM)=ON + OM=√2 OC。
(3)S△OCE - S△OCD=S△OCN + S△NCE - (S△MCD - S△OCM)=S△OCN + S△OCM=1/2 OC²。

问题6 如图4-19，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，求证：
(1)CD=CE；
(2)OD+OE=OC；
(3)S△OCD + S△OCE = √3/4 OC²．

答案：
(1)过点C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N。
∵OC平分∠AOB，∠AOB=120°，
∴∠COM=60°，CM=CN=OC·sin60°，∠MCN=60°=∠DCE，
∴∠MCD=∠NCE。在△MCD和△NCE中，∠CMD=∠CNE=90°，CM=CN，∠MCD=∠NCE，
∴△MCD≌△NCE(ASA)，
∴CD=CE。
(2)OM=ON=OC·cos60°=1/2 OC，OD+OE=(OM - MD)+(ON + NE)=OM + ON=OC。
(3)S△OCD + S△OCE=S△OCM + S△OCN=2×(1/2×OM×CM)=1/2 OC×√3/2 OC=√3/4 OC²。