《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题3 如图9-2，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE:ED=1:3.动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为多少？

答案： AE = 2，ED = 6，E(2,8)。过M作GH⊥AD，易证△EGM≌△FHM(AAS)，得MG=MH，M轨迹为平行于BC的线段。当P与A重合时，EF₁⊥AE，BF₁=AE=2；当P与B重合时，EF₂⊥BE，△EF₁B∽△F₂F₁E，$\frac{BF₁}{EF₁} = \frac{EF₁}{F₁F₂}$，$\frac{2}{6} = \frac{6}{F₁F₂}$，得F₁F₂=18。M为EF中点，故M运动轨迹为△EF₁F₂中位线，长度为$\frac{1}{2}F₁F₂ = 9$。