《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 (1)如图4-24，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方的一点，∠BDC=120°，探索线段DA，DB，DC之间的数量关系．

答案： 结论：DA=DB+DC。
证明：延长DC到E使CE=BD，连接AE。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ABD=∠ACE（易证）。
在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，DA=DE=DC+CE=DC+DB。

例1 (2)如图4-25，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA，DB，DC之间的等量关系，并证明你的结论．

答案： 结论：√2 DA=DB+DC。
证明：延长DC到E使CE=BD，连接AE。
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACE（易证）。
在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∴DE²=2AD²，
∵DE=DC+CE=DC+DB，
∴(DB+DC)²=2AD²，
∴√2 AD=DB+DC。