《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题1 如图10-1，点P是圆O外一点，连接PO交圆于点A，点B，则PA是点P到圆上的最短距离，PB是点P到圆上的最长距离. 如图10-2，若点P是圆O内一点，同理可证：连接PO交圆于点A，点B，则PA是点P到圆上的最短距离，PB为点P到圆上的最长距离. 请证明上述结论.

答案： 点P在圆O外时，设圆O半径为r，PO=d(d＞r)。对圆上任意点A'，在△POA'中，PA'+OA'≥PO，PA'≥PO-OA'=d-r=PA，故PA最短；对任意点B'，PB'≤PO+OB'=d+r=PB，故PB最长。点P在圆O内时，PO=d(d＜r)，对圆上任意点A'，PA'≥OA'-PO=r-d=PA；对任意点B'，PB'≤PO+OB'=d+r=PB，得证。