《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例2 如图3-11，在正方形ABCD中，BE=1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF=______．

答案： √6
设正方形边长为a，AC为对角线，∠BAC=∠DAC=45°。
将BC沿CE翻折，B的对应点为Y，
∴CY=BC=a，EY=BE=1，∠EYC=∠B=90°，
在Rt△AEY中，∠EAY=45°，
∴△AEY为等腰直角三角形，AE=√2 AY，
由勾股定理得AE=√(AY²+EY²)=√(AY²+1)，则√2 AY=√(AY²+1)，解得AY=1，AE=√2，
∴AB=AE+BE=√2+1，即正方形边长a=√2+1。
同理，将AD沿AF翻折，D的对应点为X，可得DF=1，AF=√2，AD=a=√2+1。
过F作FM⊥AB于M，FM=AD=√2+1，AM=DF=1，
∴EM=AB-AM-BE=(√2+1)-1-1=√2-1，
在Rt△EFM中，EF=√(EM²+FM²)=√[(√2-1)²+(√2+1)²]=√6。

例3 如图3-13，已知在△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=AB，求证：∠ABC=3∠CBD．

答案： 证明：
∵AD=CD，
∴点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AC的垂直平分线翻折得△CDE，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，BD=DE，∠ABD=∠CED，∠BAD=∠ECD。
∵BD=AB，
∴AB=BD=DE=CE。
∵∠BAC=2∠ACB，设∠ACB=α，则∠BAC=2α，
∵四边形ABEC中AB=CE，AC=CA，
∴四边形ABEC为等腰梯形，BE//AC，
∴∠ACE=∠BAC=2α，∠CBE=∠ACB=α，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=2α-α=α，即∠BCE=∠CBE=α，
∴CE=BE，
∴BD=DE=BE，△BDE为等边三角形，∠DBE=60°。
设∠CBD=γ，则∠CBE=α=60°-γ，∠BAC=2α=120°-2γ，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
即∠ABC+(120°-2γ)+α=180°，将α=60°-γ代入得∠ABC=3γ，
故∠ABC=3∠CBD。