《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例3 设双曲线y=k/x(k＞0)与直线y=x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图2-14中的阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”，当双曲线y=k/x(k＞0)的眸径为6时，k的值为______．

答案： 3/2
解析：联立y=x与y=k/x，得x²=k，解得x=±√k，
∴A(-√k,-√k)，B(√k,√k)。
∵眸径PQ=6，双曲线及平移后图形关于原点对称，
∴PQ在直线y=-x上，OP=3，设P(-3√2/2,3√2/2)。
向量AB=(2√k,2√k)，点P沿AB方向平移得P'(-3√2/2+2√k,3√2/2+2√k)，P'在双曲线y=k/x上，
∴(-3√2/2+2√k)(3√2/2+2√k)=k，即(2√k)²-(3√2/2)²=k，4k-9/2=k，3k=9/2，k=3/2。