《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 如图1-13，A，B分别是反比例函数$ y = \frac{10}{x} $，$ y = \frac{6}{x} $图象上的点，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OB，OA，OA交BD于E点，△BOE的面积为$ S_1 $，四边形ACDE的面积为$ S_2 $，则$ S_2 - S_1 = $______.

答案： 2
解析：因为A在$ y = \frac{10}{x} $上，过A作x轴垂线，垂足为C，所以$ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 10 = 5 $。
B在$ y = \frac{6}{x} $上，过B作x轴垂线，垂足为D，所以$ S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2} × 6 = 3 $。
由题意得$ S_2 - S_1 = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOD} = 5 - 3 = 2 $。

例2 如图1-14所示，两个反比例函数$ y = \frac{6}{x} $和$ y = \frac{2}{x} $在第一象限内的图象依次是$ C_1 $和$ C_2 $，设点P在$ C_1 $上，PC⊥x轴于点C，交$ C_2 $于点A，PD⊥y轴于点D，交$ C_2 $于点B，则四边形PAOB的面积为______.

答案： 4
解析：点P在$ y = \frac{6}{x} $上，PC⊥x轴，PD⊥y轴，所以四边形PCOD为矩形，其面积为$ |6| = 6 $。
点A在$ y = \frac{2}{x} $上，AC⊥x轴，所以$ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 2 = 1 $。
点B在$ y = \frac{2}{x} $上，BD⊥y轴，所以$ S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2} × 2 = 1 $。
则$ S_{四边形PAOB} = S_{矩形PCOD} - S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOD} = 6 - 1 - 1 = 4 $。