《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例7 将函数$ y=2x+b $（$ b $为常数）的图象位于$ x $轴下方的部分沿$ x $轴翻折至其上方后，所得的折线是函数$ y=|2x+b| $（$ b $为常数）的图象．若该图象在直线$ y=2 $下方的点的横坐标$ x $满足$ 0＜x＜3 $，则$ b $的取值范围为______．

答案： -4≤b≤-2
解析：由题意，函数$ y=|2x+b| $在直线$ y=2 $下方，即解不等式$ |2x+b|＜2 $。
$-2＜2x+b＜2$
$-2-b＜2x＜2-b$
$\frac{-2-b}{2}＜x＜\frac{2-b}{2}$
已知该不等式的解集为$ 0＜x＜3 $，则：
$\frac{-2-b}{2}=0 \quad 且 \quad \frac{2-b}{2}=3$
解得$ b=-2 $和$ b=-4 $。验证边界，当$ b=-4 $时，解集为$ \frac{-2-(-4)}{2}=1＜x＜\frac{2-(-4)}{2}=3 $，结合题意调整得$ \frac{-2-b}{2}≥0 $且$ \frac{2-b}{2}≤3 $，解得$ -4≤b≤-2 $。