《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB＜BC)的对角线交点O旋转(图5-8、图5-9、图5-10)，图中M，N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD，BC的交点．若AB=8，BC=10，是否存在某一旋转位置，使得CM+CN等于$\frac{44}{5}$？若存在，请求出此时DM的长；若不存在，请说明理由．

答案： 存在，DM的长为2或$\frac{14}{5}$。
解析：
设$DM=x$，则$CM=CD-DM=8-x$，设$CN=y$，则$CM+CN=8-x+y=\frac{44}{5}$，即$y=x+\frac{4}{5}$。
延长NO交AD于P，由矩形性质知$O$为AC中点，$\triangle DOP\cong\triangle BON$，故$DP=BN=BC-CN=10-y$，$OP=ON$，$MP=MN$。
在$Rt\triangle MDP$中，$MP^2=DP^2+DM^2=(10-y)^2+x^2$；在$Rt\triangle MCN$中，$MN^2=CM^2+CN^2=(8-x)^2+y^2$。
则$(10-y)^2+x^2=(8-x)^2+y^2$，化简得$5x-4y=-9$。
将$y=x+\frac{4}{5}$代入，解得$x=2$或$x=\frac{14}{5}$，故DM=2或$\frac{14}{5}$。