《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例5 如图7-12，已知抛物线$y=\frac{k}{8}(x+2)(x-4)$（k为常数，且$k＞0$）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$与抛物线的另一交点为D．
(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
(2)如图7-13，在(1)的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

答案：
(1)抛物线与x轴交于$A(-2,0)$，$B(4,0)$，直线BD过点B(4,0)，则$0=-\frac{\sqrt{3}}{3}×4 + b$，得$b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，直线BD：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}$．点D横坐标-5，代入直线得$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}×(-5)+\frac{4\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$，即$D(-5,3\sqrt{3})$．代入抛物线：$3\sqrt{3}=\frac{k}{8}(-5+2)(-5-4)=\frac{27k}{8}$，解得$k=\frac{8\sqrt{3}}{9}$，故抛物线表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{9}x^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{9}x-\frac{8\sqrt{3}}{9}$．
(2)运动时间$t=AF+\frac{1}{2}DF$．直线BD倾斜角为$150^\circ$（斜率$-\frac{\sqrt{3}}{3}$），过D作$DK// x$轴，过F作$FG\perp DK$于G，则$FG=\frac{1}{2}DF$（$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$），故$t=AF+FG$．过A作$AH\perp DK$于H，$AH$与BD交点即为F．$A(-2,0)$，$DK$为$y=3\sqrt{3}$，$AH$垂直$DK$即$x=-2$，代入BD方程得$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}×(-2)+\frac{4\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，故$F(-2,2\sqrt{3})$．