《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题1 在平面直角坐标系中有两点A(-1,1),B(3,2),在x轴上存在点C，使△ABC为等腰三角形，你能求出点C的坐标吗？

答案： 点C的坐标为$\left(\frac{11}{8},0\right)$或$(3+\sqrt{13},0)$或$(3-\sqrt{13},0)$或$(3,0)$。
解析：
（1）当$AC=BC$时，点C在AB的垂直平分线上。直线AB的解析式为$y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$，其垂直平分线CM的解析式为$y=-4x+\frac{11}{2}$。令$y=0$，解得$x=\frac{11}{8}$，故$C\left(\frac{11}{8},0\right)$。
（2）当$BC=AB$时，$AB=\sqrt{(3+1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{17}$。作$BE\perp x$轴于E，则$BE=2$，$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{17-4}=\sqrt{13}$，故$C(3+\sqrt{13},0)$或$(3-\sqrt{13},0)$。
（3）当$AC=AB=\sqrt{17}$时，作$AD\perp x$轴于D，则$AD=1$，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{17-1}=4$，故$C(3,0)$或$(-5,0)$（$C(-5,0)$时A、B、C共线，舍去）。