《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
(1)如图11-1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．
(2)如图11-2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
(3)如图11-3，在(1)的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N是AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．

答案：
(1)
∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，∠ADB=90°，
∴∠FAB+∠EBA=90°，即相邻内角互余，故四边形ABEF是邻余四边形．
(2)（答案不唯一，如图11-4所示，四边形AFEB即为所求）
(3)10
由AB=AC，AD平分BC得BD=CD．设BE=x，则DE=2x，BD=3x=CD，CE=5x．
∵N是AC中点，可证△DBQ∽△ECN，$\frac{QB}{CN}=\frac{BD}{CE}=\frac{3}{5}$，QB=3，得CN=5，AC=10，故AB=10．