《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

如图1-11，直线CD与双曲线的同一支分别交于E，F，连接OE，OF，则$S_{\triangle OEF}=S_{梯形EMAF}$。

答案： 设E$(x_1,y_1)$，F$(x_2,y_2)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。方法一：$S_{\triangle OEF}=S_{\triangle EOD}-S_{\triangle FOD}=\frac{1}{2}OD\cdot y_1-\frac{1}{2}OD\cdot y_2=\frac{1}{2}OD(y_1 - y_2)$，$S_{梯形EMAF}=\frac{1}{2}(y_1 + y_2)(x_2 - x_1)$，由直线CD与双曲线关系可得两者相等。方法二：作EM⊥x轴于M，FA⊥x轴于A，由$S_{\triangle OME}=S_{\triangle OAF}=\frac{1}{2}|k|$，得$S_{\triangle OEB}=S_{四边形AFBM}$，则$S_{\triangle OEF}=S_{直角梯形EMAF}$。综上，$S_{\triangle OEF}=S_{梯形EMAF}$。

如图1-12，直线与双曲线中的两支分别相交，求两个交点和原点为顶点的三角形面积。

答案： 设直线与双曲线$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$交于A$(x_1,y_1)$，B$(x_2,y_2)$，$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$，且$x_1$与$x_2$异号。方法一：作AD⊥x轴于D，$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OD\cdot|x_B - x_A|=\frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_1)|$，代入$y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{x_2}$，得$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}|k|\cdot|\frac{x_2 - x_1}{x_2}|$，因$x_1x_2=-|x_1x_2|$，简化得$|k|$。方法二：$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle OCD}+S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}|x_1y_1|+\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|+\frac{1}{2}|x_2y_2|=|k|$。综上，三角形面积为|k|。