《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

过原点的直线和双曲线的两支分别相交，由其中一交点向坐标轴作垂线段，连接垂足和另一交点，三条线段所围成的三角形面积等于|k|。

答案： 设双曲线为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，直线与双曲线交于A$(x_1,y_1)$，B$(x_2,y_2)$，因过原点，A，B关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。由A向x轴作垂线，垂足M$(x_1,0)$，连接MB，$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle AOM}+S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2}|x_1y_1|+\frac{1}{2}|x_2y_2|=\frac{1}{2}|k|+\frac{1}{2}|k|=|k|$。

过原点的直线和双曲线的两支分别相交，从两交点分别向坐标轴作垂线，则两条垂线和直线所围成的图形面积等于2|k|（如图1-9和图1-10）。

答案： 设双曲线为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，直线与双曲线交于A$(x_1,y_1)$，B$(x_2,y_2)$，A，B关于原点对称，$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。A向x轴作垂线垂足C$(x_1,0)$，B向y轴作垂线垂足D$(0,y_2)$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×|x_1 - x_2|×|y_1 - y_2|=\frac{1}{2}×|2x_1|×|2y_1|=2|x_1y_1|=2|k|$；四边形ANBM面积同理为2|k|。