《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例2 如图10-23，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的动点，连接AE，AF，且满足∠EAF=45°．若正方形的边长为1，则△AEF的面积最小值为多少？

答案： $\sqrt{2} - 1$
旋转△ABE至△ADF'，得EF=BE+DF。设BE=x，DF=y，(x + 1)(y + 1)=2。△AEF面积$=1 - \frac{1}{2}(x + y + (1 - x)(1 - y)) = \frac{1}{2}(1 - xy)。$由(x + 1)(y + 1)=2，$xy=3 - (x + 1 + y + 1)≤3 - 2\sqrt{2}，$面积最小值为$\frac{1}{2}(1 - (3 - 2\sqrt{2})) = \sqrt{2} - 1。$