《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

(2)当直线PF为抛物线的对称轴时,以点H为圆心,$\frac{1}{2}HC$长为半径作⊙H,点Q为⊙H上的一个动点,求$\frac{1}{4}AQ + EQ$的最小值.

答案： $\frac{\sqrt{417}}{4}$
抛物线对称轴为$x=-\sqrt{3}$，则F(-$\sqrt{3}$,0)，H(-$\sqrt{3}$,-2)。
AH⊥AE，∠EAO=60°，EO=$\sqrt{3}$OA=3，E(0,3)。
C(0,-3)，HC=$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}=2$，QH=$\frac{1}{2}CH=1$。
在HA上取点K，使HK=$\frac{1}{4}$，K(-$\frac{7\sqrt{3}}{8}$,-$\frac{15}{8}$)。
$\frac{HQ}{AH}=\frac{1}{4}$，$\frac{KH}{HQ}=\frac{1}{4}$，∠QHK=∠AHQ，故△QHK∽△AHQ，$\frac{KQ}{AQ}=\frac{1}{4}$，即KQ=$\frac{1}{4}AQ$。
$\frac{1}{4}AQ + EQ = KQ + EQ \geq EK$，当E,Q,K三点共线时取最小值。
EK=$\sqrt{(\frac{7\sqrt{3}}{8})^2 + (3 + \frac{15}{8})^2}=\frac{\sqrt{417}}{4}$。