《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 如图8-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC,BC于D,E两点,点P是圆C上一个动点,则$\frac{1}{2}PA + PB$的最小值为______.

答案： $\sqrt{10}$
在CA边上取点M使得CM=1，$\frac{CM}{PC}=\frac{1}{2}$，$\frac{PC}{CA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，则$\frac{CM}{PC}=\frac{PC}{CA}$。
又∠MCP=∠PCA，故△CPA∽△CMP，$\frac{PM}{AP}=\frac{CM}{PC}=\frac{1}{2}$，即PM=$\frac{1}{2}AP$。
$\frac{1}{2}PA + PB = PM + PB \geq BM$，当B,P,M三点共线时取等号。
在Rt△BMC中，BM=$\sqrt{CM^2 + BC^2}=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$。