《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 如图7-4,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,延长BC至D,使CD=BC,连接AD，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接BP.则$BP + \frac{1}{2}AP$的最小值为______.

答案： 2√3
解析：过点P作PE⊥AD，由∠ACB=90°得AC⊥BD，CD=BC，故AC垂直平分BD，△ADB为等腰三角形。由三线合一得∠CAD=∠BAC=30°，则PE=AP·sin30°=$\frac{1}{2}AP$。因此$BP + \frac{1}{2}AP = BP + PE$，当B，P，E三点共线时，BP+PE取最小值，即BH（BH⊥AD于H）。在Rt△ADB中，AD=4，∠BAD=60°，BH=AB·sin60°，又AD=4，AB=AD=4（等腰三角形），故BH=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2√3，即最小值为2√3。

例2 如图7-6，在平面直角坐标系中，点A(3,$\sqrt{3}$)，点P为x轴上的一个动点，当$AP + \frac{1}{2}OP$最小时，点P的坐标为______.

答案： (2,0)
解析：作点A关于x轴的对称点A'(3,-√3)，连接OA'，过点P作PC⊥OA'于C。在Rt△A'OB中，OB=3，A'B=√3，tan∠A'OB=$\frac{A'B}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故∠A'OB=30°，则PC=OP·sin30°=$\frac{1}{2}OP$。因此$AP + \frac{1}{2}OP = AP + PC$，当A，P，C三点共线时，AP+PC取最小值，即A到OA'的垂线段长。此时∠BAP=30°，在Rt△ABP中，PB=AB·tan30°=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，OP=OB-PB=3-1=2，故P(2,0)。