《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

如图10-15，在边长为6的等边△ABC中，AE=CD，连接BE，AD相交于点P，则CP的最小值为多少?

答案： $2\sqrt{3}$
解析：因为△ABC为等边三角形，所以$AB=AC$，$\angle BAE=\angle ACD=60^\circ$，又$AE=CD$，所以△ABE≌△CAD(SAS)，则$\angle ABE=\angle CAD$。因为$\angle ABE + \angle BAD=\angle CAD + \angle BAD=\angle BAC=60^\circ$，所以$\angle APB=180^\circ - 60^\circ=120^\circ$。AB=6为定长，点P在以AB为弦的圆上，设圆心为O，由圆周角定理得圆心角$\angle AOB=2×60^\circ=120^\circ$。作OH⊥AB于H，$AH=3$，$\angle OAH=30^\circ$，则$OA=\frac{AH}{\cos30^\circ}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$。连接OC，$OC=\sqrt{AC^2 + OA^2 - 2\cdot AC\cdot OA\cdot\cos30^\circ}=\sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2×6×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$。CP最小值为$OC - OP=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$（此处OP为圆半径，等于OA=2√3）。