《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例3 将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α，连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE．
(1)如图4-32，当α=60°时，△DEB'的形状为______，可求出$\frac{BB'}{CE}$的值为______．
(2)当0°＜α＜360°且α≠90°时．
①(1)中的两个结论是否成立？如果成立，请就图4-33的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出$\frac{BE}{B'E}$的值．

答案：
(1)等腰直角三角形；$\sqrt{2}$
解析：由旋转性质得$AB=AB'$，$\angle BAB'=60^\circ$，则$\triangle ABB'$是等边三角形，$\angle AB'B=60^\circ$。$\angle DAB'=\angle BAD-\angle BAB'=90^\circ-60^\circ=30^\circ$，又$AB'=AB=AD$，故$\triangle AB'D$中$\angle AB'D=\angle ADB'=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ$。$\angle DB'E=180^\circ-\angle AB'B-\angle AB'D=180^\circ-60^\circ-75^\circ=45^\circ$，因$DE\perp B'E$，则$\angle B'DE=90^\circ-45^\circ=45^\circ$，故$\triangle DEB'$是等腰直角三角形。
正方形中$BD=\sqrt{2}DC$，$\triangle DEB'$中$B'D=\sqrt{2}DE$，则$\frac{BD}{DC}=\frac{B'D}{DE}=\sqrt{2}$。又$\angle BDB'+\angle B'DC=45^\circ$，$\angle EDC+\angle B'DC=45^\circ$，故$\angle BDB'=\angle EDC$，$\triangle BDB'\backsim\triangle EDC$，$\frac{BB'}{CE}=\frac{BD}{DC}=\sqrt{2}$。
(2)①结论成立
证明：由旋转得$AB=AB'$，$\angle BAB'=\alpha$，则$\angle AB'B=\frac{180^\circ-\alpha}{2}$。$\angle DAB'=90^\circ-\alpha$，$AB'=AD$，故$\angle AB'D=\angle ADB'=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}{2}=\frac{90^\circ+\alpha}{2}$。$\angle DB'E=180^\circ-\angle AB'B-\angle AB'D=180^\circ-\frac{180^\circ-\alpha}{2}-\frac{90^\circ+\alpha}{2}=45^\circ$，$DE\perp B'E$得$\angle B'DE=45^\circ$，$\triangle DEB'$是等腰直角三角形。
$B'D=\sqrt{2}DE$，正方形中$BD=\sqrt{2}CD$，则$\frac{B'D}{DE}=\frac{BD}{CD}=\sqrt{2}$。$\angle BDB'=\angle EDC$，故$\triangle B'DB\backsim\triangle EDC$，$\frac{BB'}{CE}=\frac{BD}{CD}=\sqrt{2}$。
②3或1
解析：当$CD$为平行四边形对角线时，$B'D=\sqrt{2}B'E$，$BB'=\sqrt{2}CE$，$\frac{BE}{B'E}=\frac{BB'+B'E}{B'E}=\frac{BB'}{B'E}+1=\sqrt{2}\cdot\frac{CE}{B'E}+1=\sqrt{2}\cdot\frac{B'D}{\sqrt{2}}+1=B'D/B'E+1=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+1=3$；当$CD$为边时，$E$与$A$重合，$\frac{BE}{B'E}=1$，综上为3或1。