《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

在我们学习的反比例函数中，除了两个变量，有不变的量或关系存在吗？

答案： 存在。反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$中，变量x，y的乘积$x\cdot y = k$（即|k|）是不变的量；图象上任意一点向坐标轴作垂线形成的图形面积也存在不变关系。

如图1-1、图1-2、图1-3，从反比例函数图象上任一点A向一条坐标轴作垂线AC，垂足为C，在另一条坐标轴上任取一点B（含原点O），连接AB，CB（CO），则△ABC（AOC）的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。

答案： 设反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，点A坐标为$(x,y)$，则$xy = k$。若AC⊥x轴，C$(x,0)$，则$OC=|x|$，$AC=|y|$，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot AC=\frac{1}{2}|x|\cdot|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。对于△ABC，通过面积转化可得同样结果，故面积等于$\frac{1}{2}|k|$。