《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例4 如图6-9所示，AB，AC，⌒BC是某新区的三条规划路，其中，AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，⌒BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在⌒BC路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E，F．也就是分别在⌒BC，线段AB和AC上选取点P，E，F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP．为了达到快捷、环保和节约成本的目的，线段PE，EF，FP之和应最短，试求PE+EF+FP的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离，路宽均忽略不计）．

答案： (3√21 - 9)km
作点P关于AB的对称点P₁，关于AC的对称点P₂，连接P₁E，P₂F，P₁P₂，
则PE=P₁E，FP=P₂F，PE+EF+FP=P₁E + EF + P₂F，
当P₁，E，F，P₂共线时，最小值为P₁P₂，
∵AP₁=AP=AP₂，∠BAC=60°，
∴∠P₁AP₂=120°，P₁P₂=√3AP（由余弦定理：P₁P₂²=AP₁² + AP₂² - 2AP₁·AP₂cos120°=3AP²），
在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC=60°，由余弦定理得BC=√(AB² + AC² - 2AB·ACcos60°)=√(36 + 9 - 18)=√27=3√3，
∵⌒BC圆心角60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=3√3，
∠ABC=30°（由正弦定理：AC/sin∠ABC=BC/sin60°，3/sin∠ABC=3√3/(√3/2)=6，sin∠ABC=1/2），
∠ABO=∠ABC + ∠OBC=30° + 60°=90°，
在Rt△ABO中，AO=√(AB² + BO²)=√(6² + (3√3)²)=√(36 + 27)=√63=3√7，
AP≥AO - OP=3√7 - 3√3（P在⌒BC上，OP=半径=3√3），
∴P₁P₂=√3AP≥√3(3√7 - 3√3)=3√21 - 9，即最小值为(3√21 - 9)km。