《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 如图6-4，在等边三角形ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+MC的最小值．

答案： 2√7
连接BE交AD于点M，此时EM+MC=BE。
过点B作BH⊥AC于点H，
在等边△ABC中，AB=6，AC=6，AD⊥BC，故D为BC中点，
AH=AC/2=3（等边三角形高平分底边），
EH=AH - AE=3 - 2=1，
BH=√(AB² - AH²)=√(6² - 3²)=3√3，
在Rt△BHE中，BE=√(BH² + EH²)=√[(3√3)² + 1²]=√(27 + 1)=√28=2√7。

例2 如图6-6，△ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则△CEF周长的最小值为______．

答案： 6
作点C关于AD的对称点G，关于AB的对称点H，连接GE，FH，
则CE=GE，CF=HF，△CEF周长=GE + FH + EF，
当G，E，F，H共线时，周长最小为GH，
∵AD⊥CD，AB⊥BC，
∴AD，AB分别为CG，CH的垂直平分线，
∴DG=DC，BH=BC，
△ABD为等边三角形，BD=3，
易证DB是△CGH中位线，GH=2BD=6，即周长最小值为6。