《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例2 如图4-27，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，∠ADC=30°．证明：AD² + CD² = BD²．

答案： 证明：以DC为边向外作等边三角形DCE，连接AE。
∵△DCE是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°，DE=CD。
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠ACE（易证）。在△BCD和△ACE中，BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD=AE。
∵∠ADC=30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，AD² + DE²=AE²，
∵DE=CD，AE=BD，
∴AD² + CD²=BD²。