《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例3】 如图所示，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$为$AC$与$BD$的交点，$G$为$CC_{1}$的中点，求证：$A_{1}O\perp$平面$GBD$。

答案： 证明 设 $\overrightarrow{A_{1}B_{1}}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{A_{1}D_{1}}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{A_{1}A}=\boldsymbol{c}$，则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=0$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=0$，$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}|$。因为 $\overrightarrow{A_{1}O}=\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{A_{1}A}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\frac{1}{2}\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$，所以 $\overrightarrow{A_{1}O}\cdot\overrightarrow{BD}=(\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}^{2}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}^{2}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}^{2}-\boldsymbol{a}^{2})=\frac{1}{2}(|\boldsymbol{b}|^{2}-|\boldsymbol{a}|^{2}) = 0$。所以 $\overrightarrow{A_{1}O}\perp\overrightarrow{BD}$，即 $A_{1}O\perp BD$。同理可证 $\overrightarrow{A_{1}O}\perp\overrightarrow{OG}$，即 $A_{1}O\perp OG$。又 $BD\cap OG = O$，所以 $A_{1}O\perp$ 平面 $GBD$。

【变式训练】已知空间四边形$ABCD$中，$AB\perp CD$，$AC\perp BD$，求证：$AD\perp BC$。

答案： 证明 因为 $AB\perp CD$，$AC\perp BD$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$，$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$。所以 $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}^{2}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}^{2}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=0$。所以 $\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{BC}$，从而 $AD\perp BC$。

【例4】 在正四面体$ABCD$中，棱长为$a$，$M$，$N$分别是棱$AB$，$CD$上的点，且$MB = 2AM$，$CN = \frac{1}{2}ND$，求$MN$。

答案： 解 因为 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。所以 $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MN}=(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC})\cdot(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC})=\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}^{2}-\frac{2}{9}\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}-\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}+\frac{1}{9}\overrightarrow{AD}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}^{2}=\frac{1}{9}a^{2}-\frac{1}{9}a^{2}-\frac{2}{9}a^{2}+\frac{2}{9}a^{2}+\frac{1}{9}a^{2}+\frac{4}{9}a^{2}=\frac{5}{9}a^{2}$。故 $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MN}}=\frac{\sqrt{5}}{3}a$。即 $|MN|=\frac{\sqrt{5}}{3}a$。

【变式训练】如图，已知一个$60^{\circ}$的二面角的棱上有两点$A$，$B$，$AC$，$BD$分别是在这两个面内且垂直于$AB$的线段。又知$AB = 4$，$AC = 6$，$BD = 8$，求$CD$的长。

答案： 解 因为 $CA\perp AB$，$BD\perp AB$，所以 $\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BD}\rangle = 120^{\circ}$。因为 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，且 $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，所以 $|\overrightarrow{CD}|^{2}=\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})\cdot(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})=|\overrightarrow{CA}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{BD}|^{2}+2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}=|\overrightarrow{CA}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{BD}|^{2}+2|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{BD}|\cos\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BD}\rangle=6^{2}+4^{2}+8^{2}+2\times6\times8\times(-\frac{1}{2}) = 68$，所以 $|\overrightarrow{CD}| = 2\sqrt{17}$，故 $CD$ 的长为 $2\sqrt{17}$。