《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

（1）直线 $y = 2x - 3$ 在 $y$ 轴上的截距是（ ）
A. $3$
B. $2$
C. $-2$
D. $-3$

答案： D 解析 对于直线 $y = 2x - 3$，当 $x = 0$ 时，$y = -3$，因此直线 $y = 2x - 3$ 在 $y$ 轴上的截距为 -3。

（2）一条直线过点 $A(0,2)$，它的倾斜角等于直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$ 的倾斜角的 $2$ 倍，则这条直线的方程是（ ）
A. $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$
B. $y = \sqrt{3}x + 2$
C. $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$
D. $y = \sqrt{3}x - 2$

答案： B 解析 解法一：因为直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以其倾斜角为 $30^{\circ}$，所以所求直线的倾斜角为 $60^{\circ}$，斜率 $k = \sqrt{3}$。直线过点 $A(0,2)$，即直线在 $y$ 轴上的截距为 2。由斜截式易得这条直线的方程为 $y = \sqrt{3}x + 2$。 解法二：所求直线斜率为 $\sqrt{3}$，过点 $A(0,2)$，则点斜式方程为 $y - 2 = \sqrt{3}(x - 0)$，即 $y = \sqrt{3}x + 2$。

（3）（多选）已知 $k + b = 0$，$k\neq0$，则直线 $y = kx + b$ 的位置可能是（ ）

答案： BD 解析 因为直线方程为 $y = kx + b$，且 $k \neq 0$，$k + b = 0$，即 $b = -k$，所以 $y = kx - k = k(x - 1)$，令 $y = 0$，得 $x = 1$，所以直线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(1,0)$。

【例3】（1）当 $a$ 为何值时，直线 $l_1:y = -x + 2a$ 与直线 $l_2:y = (a^2 - 2)x + 2$ 平行？
（2）当 $a$ 为何值时，直线 $l_1:y = (2a - 1)x + 3$ 与直线 $l_2:y = 4x - 3$ 垂直？

答案： 由题意可知，$k_{l_1} = -1$，$k_{l_2} = a^2 - 2$，因为 $l_1// l_2$，所以 $\begin{cases}a^2 - 2 = -1\\2a \neq 2\end{cases}$，解得 $a = -1$。故当 $a = -1$ 时，直线 $l_1:y = -x + 2a$ 与直线 $l_2:y = (a^2 - 2)x + 2$ 平行。@@由题意可知，$k_{l_1} = 2a - 1$，$k_{l_2} = 4$，因为 $l_1\perp l_2$，所以 $4(2a - 1) = -1$，解得 $a = \frac{3}{8}$。故当 $a = \frac{3}{8}$ 时，直线 $l_1:y = (2a - 1)x + 3$ 与直线 $l_2:y = 4x - 3$ 垂直。

（1）已知直线 $y = ax - 2$ 和 $y = (a + 2)x + 1$ 互相垂直，则 $a =$________。

答案： -1 解析 由题意可知 $a\cdot(a + 2) = -1$，解得 $a = -1$。

（2）若直线 $l_1:y = -\frac{2}{a}x - \frac{1}{a}$ 与直线 $l_2:y = 3x - 1$ 互相平行，则 $a =$________。

答案： $-\frac{2}{3}$ 解析 由题意可知 $\begin{cases}-\frac{2}{a} = 3\\-\frac{1}{a} \neq -1\end{cases}$，解得 $a = -\frac{2}{3}$。

【典例】已知直线 $l:y = kx + 2k + 1$。
（1）求证：直线 $l$ 过定点；
（2）当 $-3＜x＜3$ 时，直线上的点都在 $x$ 轴上方，求实数 $k$ 的取值范围。

答案： 证明：由 $y = kx + 2k + 1$，得 $y - 1 = k(x + 2)$。 由直线方程的点斜式可知，直线 $l$ 过定点 $(-2,1)$。@@设函数 $f(x) = kx + 2k + 1$，显然其图象是一条直线，当 $-3＜x＜3$ 时，直线上的点都在 $x$ 轴上方，需满足 $\begin{cases}f(-3)\geqslant0\\f(3)\geqslant0\end{cases}$，即 $\begin{cases}-3k + 2k + 1\geqslant0\\3k + 2k + 1\geqslant0\end{cases}$，解得 $-\frac{1}{5}\leqslant k\leqslant1$。 所以实数 $k$ 的取值范围是 $\left\{k\mid -\frac{1}{5}\leqslant k\leqslant1\right\}$。