《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

微思考
1. 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可以说明直线与平面平行？
2. 两个平面平行，两个平面的法向量有什么关系？

答案： 提示：直线的方向向量与平面的法向量垂直时，可以说明直线与平面平行。@@提示：平行。

【例1】在长方体$OAEB - O_{1}A_{1}E_{1}B_{1}$中，$OA = 3$，$OB = 4$，$OO_{1}=2$，点$P$在棱$AA_{1}$上，且$AP = 2PA_{1}$，点$S$在棱$BB_{1}$上，且$SB_{1}=2BS$，点$Q$，$R$分别是棱$O_{1}B_{1}$，$AE$的中点。求证：$PQ// RS$。
听课记录

答案：
证明：如图，建立空间直角坐标系，
则$A(3,0,0)$，$B(0,4,0)$，$O_{1}(0,0,2)$，$A_{1}(3,0,2)$，$B_{1}(0,4,2)$，$E(3,4,0)$。易求得$P\left(3,0,\frac{4}{3}\right)$，$Q(0,2,2)$，$R(3,2,0)$，$S\left(0,4,\frac{2}{3}\right)$，于是$\overrightarrow{PQ}=\left(-3,2,\frac{2}{3}\right)$，$\overrightarrow{RS}=\left(-3,2,\frac{2}{3}\right)$。所以$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}$，所以$\overrightarrow{PQ} // \overrightarrow{RS}$。因为$R \notin PQ$，所以$PQ // RS$。

【变式训练】如图所示，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，$PD\perp$平面$ABCD$，$E$为$CP$的中点，$N$为$DE$的中点，$DM=\frac{1}{4}DB$，$DA = DP = 1$，$CD = 2$。求证：$MN// AP$。

答案：
证明： 证法一：由题意知，直线$DA$，$DC$，$DP$两两垂直，如图所示，
以$D$为原点，$DA$，$DC$，$DP$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系，则$D(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$B(1,2,0)$，$P(0,0,1)$，$E\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$，$N\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$，$M\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},0\right)$，所以$\overrightarrow{AP}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{1}{4},0,\frac{1}{4}\right)$，所以$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$，故$MN // AP$。 证法二：由题意可得$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DP})=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DP}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$，所以$MN // AP$。

【例2】在如图所示的多面体中，$EF\perp$平面$AEB$，$AE\perp EB$，$AD// EF$，$EF// BC$，$BC = 2AD = 4$，$EF = 3$，$AE = BE = 2$，$G$是$BC$的中点，求证：$AB//$平面$DEG$。

答案：
证明：因为$EF \perp$平面$AEB$，$AE \subset$平面$AEB$，$BE \subset$平面$AEB$，所以$EF \perp AE$，$EF \perp BE$。又因为$AE \perp EB$，所以$EB$，$EF$，$EA$两两垂直。以点$E$为原点，$EB$，$EF$，$EA$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系。
由已知得，$A(0,0,2)$，$B(2,0,0)$，$D(0,2,2)$，$G(2,2,0)$，所以$\overrightarrow{ED}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{EG}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{AB}=(2,0,-2)$。设平面$DEG$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{ED} \cdot \boldsymbol{n}=0, \\ \overrightarrow{EG} \cdot \boldsymbol{n}=0, \end{cases}$即$\begin{cases}2y + 2z = 0, \\ 2x + 2y = 0, \end{cases}$令$y = 1$，得$z = -1$，$x = -1$，则$\boldsymbol{n}=(-1,1,-1)$是平面$DEG$的一个法向量，所以$\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n}=-2 + 0 + 2 = 0$，即$\overrightarrow{AB} \perp \boldsymbol{n}$。因为$AB\not\subset$平面$DEG$，所以$AB //$平面$DEG$。