《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
（1）两直线的交点。
点P的坐标既满足直线$l_1$的方程$A_1x + B_1y + C_1 = 0$，也满足直线$l_2$的方程$A_2x + B_2y + C_2 = 0$，即点P的坐标是方程组________的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的________坐标。
（2）两直线的位置关系。
|方程组$\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}$的解|一组|无数组|________|
|----|----|----|----|
|直线$l_1$与$l_2$的公共点的个数|一个|________|零个|
|直线$l_1$与$l_2$的位置关系|________|重合|________|

答案： 1.
(1) 方程组$\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}$，有交点、无解、无数个解分别对应相交、平行。

2. 两点间的距离公式
|条件|点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$|
|----|----|
|结论|________|
|特例|点$P(x,y)$到原点$O(0,0)$的距离|OP|=________}|

答案： 2.两点间的距离公式：$\vert P_1P_2\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，点$(x,y)$到原点的距离为$\sqrt{x^2 + y^2}$。

微思考
1. 仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗？
2. 式子$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$的几何意义是什么？

答案： 微思考 1. 提示：不能。 2. 提示：两点(x,y)\)，\((a,b)间的距离。

【例1】（1）直线$4x + 2y - 2 = 0$与直线$3x + y - 2 = 0$的交点坐标是（ ）
A. (2,2) B. (2, - 2)
C. (1, - 1) D. (1,1)
（2）经过两直线$l_1:3x + 4y - 2 = 0$和$l_2:2x + y + 2 = 0$的交点且过原点的直线$l$的方程是________________。

答案： C 解析：解方程组$\begin{cases}4x + 2y - 2 = 0\\3x + y - 2 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$，所以交点坐标为$(1,-1)$。@@$x + y = 0$ 解析： 解法一：由方程组$\begin{cases}3x + 4y - 2 = 0\\2x + y + 2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2\\y = 2\end{cases}$，即$l_1$与$l_2$的交点坐标为$(-2,2)$。因为直线过原点，所以其斜率$k=\frac{2}{-2}=-1$。故直线方程为$y = -x$，即$x + y = 0$。 解法二：因为$l_2$不过原点，所以可设$l$的方程为$3x + 4y - 2+\lambda(2x + y + 2)=0(\lambda\in R)$，即$(3 + 2\lambda)x+(4 + \lambda)y+2\lambda - 2 = 0$。将原点$(0,0)$代入上式，得$\lambda = 1$，所以直线$l$的方程为$5x + 5y = 0$，即$x + y = 0$。