《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例3】如图，已知直线$l$过点$P(2,1)$，且与$x$轴，$y$轴的正半轴分别交于$A$，$B$两点，$O$为原点，则三角形$OAB$面积的最小值为________。

答案： 4 解析 设直线l为$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$，因为直线l过点$P(2,1)$，则有$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$，三角形OAB的面积为$S = \frac{1}{2}ab$。对$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$，利用均值不等式得$1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{2}{a} \cdot \frac{1}{b}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab}}$，即$ab \geq 8$。于是，三角形OAB的面积为$S = \frac{1}{2}ab \geq 4$。当且仅当$a = 4$，$b = 2$时取等号。

【变式训练】已知直线$l$经过点$(3,-2)$，且在两坐标轴上的截距相等，则直线$l$的方程为________________。

答案： $x + y - 1 = 0$或$2x + 3y = 0$ 解析 设直线l在两坐标轴上的截距均为a。 ①若$a = 0$，则直线l过原点，此时l的方程为$2x + 3y = 0$； ②若$a \neq 0$，则l的方程可设为$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$，因为直线l过点$(3,-2)$，知$\frac{3}{a} + \frac{-2}{a} = 1$，即$a = 1$，所以直线l的方程为$x + y = 1$，即$x + y - 1 = 0$。 综上可知，直线l的方程为$x + y - 1 = 0$或$2x + 3y = 0$。

【变式训练】已知点$A(3,0)$，$B(0,4)$，直线$AB$上一动点$P(x,y)$，则$xy$的最大值是________。

答案： 3 解析 直线AB的方程为$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$，设$P(x,y)$，则$x = 3 - \frac{3}{4}y$，所以$xy = 3y - \frac{3}{4}y^2 = \frac{3}{4}(-y^2 + 4y) = \frac{3}{4}[-(y - 2)^2 + 4] \leq 3$。即当P点坐标为$(\frac{3}{2},2)$时，$xy$取得最大值3。

1. 经过$M(3,2)$与$N(6,2)$两点的直线方程为（ ）
A. $x = 2$
B. $y = 2$
C. $x = 3$
D. $x = 6$

答案： B 解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为$y = 2$。故选B。

2. 直线$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1$在两坐标轴上的截距之和为（ ）
A. $1$
B. $-1$
C. $7$
D. $-7$

答案： B 解析 直线$\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1$，即$\frac{x}{3} + \frac{y}{-4} = 1$的横截距为3，纵截距为 - 4，所以直线$\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1$在两坐标轴上的截距之和为 - 1。

3. 一条光线从点$P(6,4)$射出，与$x$轴相交于点$Q(2,0)$，经$x$轴反射，则反射光线所在的直线方程为________________。

答案： $y = -x + 2$ 解析 由光学知识可得反射光线所在的直线过点$Q(2,0)$和$P(6,4)$关于x轴的对称点$M(6,-4)$，其直线方程为$\frac{y - 0}{x - 2} = \frac{-4 - 0}{6 - 2}$，即$y = -x + 2$。

4. 直线$ax + by = 1(ab\neq0)$与两坐标轴围成的三角形的面积是________。

答案： $\frac{1}{2|ab|}$ 解析 直线在两坐标轴上的截距分别为$\frac{1}{a}$与$\frac{1}{b}$，所以直线与坐标轴围成的三角形面积为$\frac{1}{2|ab|}$。

5. 已知$\triangle ABC$中，顶点$A(1,-4)$，$B(6,6)$，$C(-2,0)$。求：
（1）$\triangle ABC$中平行于$BC$边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
（2）$BC$边的中线所在直线的方程并化为截距式方程。

答案： 解 （1）平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线。因为线段AB，AC的中点坐标分别为$(\frac{7}{2},1)$，$(-\frac{1}{2},-2)$，所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为$\frac{y + 2}{1 + 2} = \frac{x + \frac{1}{2}}{\frac{7}{2} + \frac{1}{2}}$，整理得，$6x - 8y - 13 = 0$，化为截距式方程为$\frac{x}{\frac{13}{6}} + \frac{y}{-\frac{13}{8}} = 1$。 （2）因为BC边的中点为$(2,3)$，所以BC边上的中线所在直线的方程为$\frac{y + 4}{3 + 4} = \frac{x - 1}{2 - 1}$，即$7x - y - 11 = 0$，化为截距式方程为$\frac{x}{\frac{11}{7}} + \frac{y}{-11} = 1$。