《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】已知圆$C$与直线$l:4x - 3y + 6 = 0$相切于点$A(3,6)$，且经过点$B(5,2)$，求圆$C$的方程。

答案： 解法一：设圆C的方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，则圆心为$C(a, b)$，由$|CA| = |CB| = r$，$CA \perp l$，得$\begin{cases}(3 - a)^2 + (6 - b)^2 = r^2 \\ (5 - a)^2 + (2 - b)^2 = r^2 \\ \frac{b - 6}{a - 3} \times \frac{4}{3} = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 5 \\ b = \frac{9}{2} \\ r^2 = \frac{25}{4}\end{cases}$，所以圆C的方程为$(x - 5)^2 + (y - \frac{9}{2})^2 = \frac{25}{4}$。 解法二：由题意知直线$CA \perp l$。故直线CA的方程为$y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 3)$，即$3x + 4y - 33 = 0$。又因为$k_{AB} = \frac{6 - 2}{3 - 5} = -2$，线段AB的中点坐标为$(4, 4)$，所以线段AB的垂直平分线方程为$y - 4 = \frac{1}{2}(x - 4)$，即$x - 2y + 4 = 0$，解方程组$\begin{cases}3x + 4y - 33 = 0 \\ x - 2y + 4 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 5 \\ y = \frac{9}{2}\end{cases}$，所以圆心$C(5, \frac{9}{2})$，所以半径$r = \frac{5}{2}$。所以圆C的方程为$(x - 5)^2 + (y - \frac{9}{2})^2 = \frac{25}{4}$。

【例2】（1）点$P(m^2,5)$与圆$x^2 + y^2 = 24$的位置关系是（ ）
A. 点$P$在圆内 B. 点$P$在圆外
C. 点$P$在圆上 D. 不确定
（2）已知点$M(5\sqrt{a} + 1,\sqrt{a})$在圆$(x - 1)^2 + y^2 = 26$的内部，则$a$的取值范围为$0\leqslant a ＜ 1$。

答案： B@@$[0, 1)$

【变式训练】已知点$(1,1)$在圆$(x - a)^2 + (y + a)^2 = 4$的外部，则$a$的取值范围为$a ＞ 1$或$a ＜ -1$。

答案： $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

【例3】已知圆心在$x$轴上的圆$C$与$x$轴交于两点$A(1,0)$，$B(5,0)$，
（1）求此圆的标准方程；
（2）设$P(x,y)$为圆$C$上任意一点，求$P(x,y)$到直线$x - y + 1 = 0$的距离的最大值和最小值。

答案： 解：
(1)由已知，得$C(3, 0)$，$r = \frac{|AB|}{2} = 2$，所以所求方程为$(x - 3)^2 + y^2 = 4$。
(2)圆心C到直线$x - y + 1 = 0$的距离$d = \frac{|3 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 2\sqrt{2} ＞ 2$。所以P到直线的最大距离为$2 + 2\sqrt{2}$，最小距离为$2\sqrt{2} - 2$。

【变式训练】直线$x + y + 2 = 0$分别与$x$轴、$y$轴交于$A$，$B$两点，点$P$在圆$(x - 2)^2 + y^2 = 2$上，则$\triangle ABP$面积的取值范围是（ ）
A. $[2,6]$
B. $[4,8]$
C. $[\sqrt{2},3\sqrt{2}]$
D. $[2\sqrt{2},3\sqrt{2}]$

答案： A