《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例1】（1）设$l_1$的方向向量为$\boldsymbol{a}=(1,2, -2)$，$l_2$的方向向量为$\boldsymbol{b}=(-2,3,m)$，若$l_1 \perp l_2$，则$m =$ （ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. 1 C. 2 D. 3
（2）如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PD \perp$底面$ABCD$，底面$ABCD$为正方形，$PD = DC$，$E$，$F$分别是$AB$，$PB$的中点。求证：$EF \perp CD$。

答案：
（1）C 解析 由题意可得 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，所以 $1\times(-2)+2\times3+(-2)\times m = 0$，所以 $m = 2$。@@（2）证明 以 $DA,DC,DP$ 所在的直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系（如图）
，设 $AD = a$，则 $D(0,0,0)$，$B(a,a,0)$，$C(0,a,0)$，$E(a,\frac{a}{2},0)$，$P(0,0,a)$，$F(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2})$，所以 $\overrightarrow{EF}=(-\frac{a}{2},0,\frac{a}{2})$，$\overrightarrow{DC}=(0,a,0)$，因为 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DC}=(-\frac{a}{2},0,\frac{a}{2})\cdot(0,a,0)=0$，所以 $EF\perp DC$。

【变式训练】在正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$B_1C \perp A_1B$。求证：$AC_1 \perp A_1B$。

答案：
证明 如图，建立空间直角坐标系，
设 $AB = a$，$CC_1 = b$。则 $A_1(\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{a}{2},0)$，$B(0,a,b)$，$B_1(0,a,0)$，$C(0,0,b)$，$A(\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{1}{2}a,b)$，$C_1(0,0,0)$。于是 $\overrightarrow{A_1B}=(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{1}{2}a,b)$，$\overrightarrow{B_1C}=(0,-a,b)$，$\overrightarrow{AC_1}=(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,-\frac{a}{2},-b)$。因为 $B_1C\perp A_1B$，所以 $\overrightarrow{B_1C}\cdot\overrightarrow{A_1B}=-\frac{a^2}{2}+b^2 = 0$，所以 $\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{A_1B}=\frac{3}{4}a^2-\frac{1}{4}a^2 - b^2=\frac{a^2}{2}-b^2 = 0$，所以 $\overrightarrow{AC_1}\perp\overrightarrow{A_1B}$，即 $AC_1\perp A_1B$。

【例2】如图所示，正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的所有棱长都为$2$，$D$为$CC_1$的中点。求证：$AB_1 \perp$平面$A_1BD$。

答案：
证明 如图所示，
取 $BC$ 的中点 $O$，连接 $AO$，因为 $\triangle ABC$ 为正三角形，所以 $AO\perp BC$。因为在正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，平面 $ABC\perp$ 平面 $BCC_1B_1$，平面 $ABC\cap$ 平面 $BCC_1B_1 = BC$，所以 $AO\perp$ 平面 $BCC_1B_1$。取 $B_1C_1$ 的中点 $O_1$，以 $O$ 为原点，以 $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OO_1},\overrightarrow{OA}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 $B(1,0,0)$，$D(-1,1,0)$，$A_1(0,2,\sqrt{3})$，$A(0,0,\sqrt{3})$，$B_1(1,2,0)$。所以 $\overrightarrow{AB_1}=(1,2,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BA_1}=(-1,2,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BD}=(-2,1,0)$。@@证法一：因为 $\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BA_1}=1\times(-1)+2\times2+(-\sqrt{3})\times\sqrt{3}=0$，$\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BD}=1\times(-2)+2\times1+(-\sqrt{3})\times0 = 0$。所以 $\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{BA_1}$，$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{BD}$，即 $AB_1\perp BA_1$，$AB_1\perp BD$。又因为 $BA_1\cap BD = B$，$BA_1,BD\subset$ 平面 $A_1BD$，所以 $AB_1\perp$ 平面 $A_1BD$。@@证法二：设平面 $A_1BD$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则有 $\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{BA_1}$，$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{BD}$，故 $\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BA_1}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BD}=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-x + 2y+\sqrt{3}z = 0\\-2x + y = 0\end{cases}$，令 $x = 1$，则 $y = 2$，$z = -\sqrt{3}$，故 $\boldsymbol{n}=(1,2,-\sqrt{3})$ 为平面 $A_1BD$ 的一个法向量，而 $\overrightarrow{AB_1}=(1,2,-\sqrt{3})=\boldsymbol{n}$，所以 $\overrightarrow{AB_1}//\boldsymbol{n}$，故 $AB_1\perp$ 平面 $A_1BD$。