《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【例1】（1）（多选）若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
（2）（多选）设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l₁，则直线l₁的倾斜角可能为（ ）
A.α + 45° B.45° - α C.α - 135° D.135° - α

答案：
BC 解析：如图，
直线$l$有两种情况，故$l$的倾斜角为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$。@@AC 解析：如图①所示，当$0^{\circ}\leq\alpha\lt135^{\circ}$时，$l_{1}$的倾斜角是$\alpha + 45^{\circ}$。如图②所示，当$135^{\circ}\leq\alpha\lt180^{\circ}$时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到$l_{1}$的倾斜角为$\alpha - 135^{\circ}$。

【变式训练】已知直线l₁的倾斜角α₁ = 15°，直线l₁与l₂的交点为A，直线l₁和l₂向上的方向之间所成的角为120°，则直线l₂的倾斜角为_______。

答案： 135°

【例2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α。
（1）A(2，3)，B(4，5)；
（2）C(-2，3)，D(2，-1)；
（3）P(-3，1)，Q(-3，10)。

答案： 解：
(1) 斜率存在。直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{5 - 3}{4 - 2}=1$，即$\tan\alpha = 1$，又$0^{\circ}\leq\alpha\lt180^{\circ}$，所以倾斜角$\alpha = 45^{\circ}$。@@
(2) 斜率存在。直线$CD$的斜率$k_{CD}=\frac{-1 - 3}{2 - (-2)}=-1$，即$\tan\alpha = -1$，又$0^{\circ}\leq\alpha\lt180^{\circ}$，所以倾斜角$\alpha = 135^{\circ}$。@@
(3) 斜率不存在。因为$x_{P}=x_{Q}=-3$，所以直线$PQ$的斜率不存在，倾斜角$\alpha = 90^{\circ}$。

【变式训练】（1）直线经过点P(3，2)，Q(-3，3)，则k = _______，直线PQ的倾斜角为_______角（填“钝”或“锐”）。
（2）过点P(-2，m)，Q(m，4)两点的直线的方向向量为(1，2)，则m的值为_______。

答案： $-\frac{1}{6}$@@钝@@解析：$k=\frac{3 - 2}{-3 - 3}=-\frac{1}{6}\lt0$，所以直线$PQ$的倾斜角为钝角。@@0@@解析：由斜率公式$k=\frac{4 - m}{m - (-2)}=2$，得$m = 0$。

【例3】（1）已知点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A.(-∞，-4]∪[$\frac{3}{4}$，+∞)
B.(-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{3}{4}$，+∞)
C.[-4，$\frac{3}{4}$]
D.[$\frac{3}{4}$，4]
（2）若三点A(2，-3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k = _______。

答案： A 解析：画出图象如图所示，由图可知，斜率$k$的取值范围是$[k_{PB},+\infty)\cup(-\infty,k_{PA}]$，根据已知两点的斜率公式，有$k_{PA}=-4$，$k_{PB}=\frac{3}{4}$，所以$k$的取值范围是$(-\infty,-4]\cup[\frac{3}{4},+\infty)$。@@6@@解析：因为$A(2,-3)$，$B(4,3)$，$C(5,k)$在同一条直线上，所以$k_{AB}=k_{AC}$，又$k_{AB}=\frac{3 - (-3)}{4 - 2}=3$，$k_{AC}=\frac{k - (-3)}{5 - 2}=\frac{k + 3}{3}$，所以$3=\frac{k + 3}{3}$，即$k = 6$。