《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1. 空间向量数量积的概念及性质
（1）空间向量的夹角。
已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，在空间任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$\angle AOB$叫做向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角，记作_______。

如果$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \frac{\pi}{2}$，那么向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$_______，记作_______。
（2）空间向量数量积的定义。
已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，则_______叫做$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的数量积，记作$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$。即$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$=_______。
特别地，零向量与任意向量的数量积为$0$。
（3）空间向量数量积的性质
由向量的数量积定义，可以得到：
$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$；
$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{a}\vert\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}\rangle=\vert\boldsymbol{a}\vert^{2}$。

答案： 1.
(1) $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 互相垂直 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$
(2) $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$

2. 空间向量的投影向量及运算律
（1）投影向量。
如图①，在空间，向量$\boldsymbol{a}$向向量$\boldsymbol{b}$投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面$\alpha$内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量$\boldsymbol{b}$共线的向量$\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{c}$=_______，向量$\boldsymbol{c}$称为向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量。类似地，可以将向量$\boldsymbol{a}$向直线$l$投影（图②）。

如图③，向量$\boldsymbol{a}$向平面$\beta$投影，就是分别由向量$\boldsymbol{a}$的起点$A$和终点$B$作平面$\beta$的垂线，垂足分别为$A'$，$B'$，得到向量$\overrightarrow{A'B'}$，向量_______称为向量$\boldsymbol{a}$在平面$\beta$上的投影向量。这时，向量$\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{A'B'}$的夹角就是向量$\boldsymbol{a}$所在直线与平面$\beta$所成的角。
（2）空间向量的数量积满足的运算律。
$(\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}$=$\lambda$_______，$\lambda\in\mathbf{R}$；
$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$_______（交换律）；
$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}$=_______（分配律）。

答案： 2.
(1) $|\boldsymbol{a}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$ $\overrightarrow{A'B'}$
(2) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ $\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$

微思考
1. $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，$\langle -\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，$\langle\boldsymbol{a},-\boldsymbol{b}\rangle$，$\langle -\boldsymbol{a},-\boldsymbol{b}\rangle$，它们有什么关系？
2. 由$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}$能得到$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$吗？
3. 对于三个均不为$0$的数$a$，$b$，$c$，若$ab = c$，则$a = \frac{c}{b}$（或$b = \frac{c}{a}$）。对于向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，若$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=k$，能不能写成$\boldsymbol{a}=\frac{k}{\boldsymbol{b}}$（或$\boldsymbol{b}=\frac{k}{\boldsymbol{a}}$）的形式？

答案： 1. 提示：$\langle -\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{a},-\boldsymbol{b}\rangle=\pi - \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$；$\langle -\boldsymbol{a},-\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$。 2. 提示：不能。 3. 提示：不能，向量没有除法运算。