《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个力分别为$\boldsymbol{F}_{1}$，$\boldsymbol{F}_{2}$，$\boldsymbol{F}_{3}$，它们两两垂直，且$|\boldsymbol{F}_{1}| = 3\ 000\ \text{N}$，$|\boldsymbol{F}_{2}| = 2\ 000\ \text{N}$，$|\boldsymbol{F}_{3}| = 2\ 000\sqrt{3}\ \text{N}$。若以$\boldsymbol{F}_{1}$，$\boldsymbol{F}_{2}$，$\boldsymbol{F}_{3}$的方向分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向建立空间直角坐标系，则巨石所受合力$\boldsymbol{F}$的坐标是什么？

答案：

1. 空间向量的坐标运算
（1）一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的___。
（2）设$\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$，$\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$。则有
|向量运算|坐标表示|
| ---- | ---- |
|加法|$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=$___|
|减法|$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=$___|
|数乘|$\lambda\boldsymbol{a}=$___$(\lambda\in\mathbf{R})$|
|数量积|$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$___|

答案： 终点坐标减去起点坐标。
@@$(a_1 + b_1,a_2 + b_2,a_3 + b_3)$
@@$(a_1 - b_1,a_2 - b_2,a_3 - b_3)$
@@$(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$
@@$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

2.空间向量的平行.垂直及模和夹角

答案： $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3=0$

3. 空间两点间的距离公式
设$P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$，则$P_{1}P_{2} = |\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|=$___。

答案： $\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2+(z_2 - z_1)^2}$

1. 若$\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$，$\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$，$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则一定有$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}$成立吗？

答案： 提示：不一定，当$b_1,b_2,b_3$存在取0值时不成立。

2. 当$0 ＜ \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle ＜ 1$，及$-1 ＜ \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle ＜ 0$时，夹角的范围是？

答案： 提示：当$0 ＜ \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle ＜ 1$时，$0 ＜ \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle ＜ \frac{\pi}{2}$，为锐角；当$-1 ＜ \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle ＜ 0$时，$\frac{\pi}{2} ＜ \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle ＜ \pi$，为钝角。

【例1】（1）已知$\boldsymbol{a}=(-1,2,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,0,1)$，则$(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=$___。
（2）若$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,-4,3)$，$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(1,3,-1)$，则$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle =$___。

答案： -4。解析：易得$2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=(4,4,5)$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-3,2,0)$，则$(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 4\times(-3)+4\times2 + 5\times0=-4$。
@@$-\frac{\sqrt{15}}{5}$。解析：设$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2,z_2)$，由题设可得$\begin{cases}2x_1 - x_2 = 2\\x_1 + 2x_2 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1 = 1\\x_2 = 0\end{cases}$，同理可得$y_1=-1,y_2 = 2,z_1 = 1,z_2=-1$，即$\boldsymbol{a}=(1,-1,1)$，$\boldsymbol{b}=(0,2,-1)$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0 - 2 - 1=-3$，$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3}$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{5}$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$。