《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

（1）已知$\boldsymbol{a}=(1,0,-1)$，$\boldsymbol{b}=(1,-2,2)$，$\boldsymbol{c}=(-2,3,-1)$，则$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{c}=$___。

答案： $(-4,8,-5)$。解析：$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{c}=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5)$。

（2）已知$\boldsymbol{a}=(1,1,0)$，$\boldsymbol{b}=(0,1,1)$，$\boldsymbol{c}=(1,0,1)$，$\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{q}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}=$___。

答案： -1。解析：因为$\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1,0,-1)$，$\boldsymbol{q}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=(0,3,1)$，所以$\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}=1\times0 + 0\times3+(-1)\times1=-1$。

【例2】如图，已知正方形$ABCD$和矩形$ACEF$所在的平面互相垂直，$AB = \sqrt{2}$，$AF = 1$，$M$是线段$EF$的中点。求证：
（1）$AM//$平面$BDE$；
（2）$AM\perp$平面$BDF$。

答案：
证明： （1）如图，建立空间直角坐标系，
设$AC\cap BD = N$，连接$NE$，则点$N$，$E$的坐标分别为$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0)$，$(0,0,1)$。所以$\overrightarrow{NE}=(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1)$。又点$A$，$M$的坐标分别是$(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)$，所以$\overrightarrow{AM}=(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1)$。所以$\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{AM}$。又$NE$与$AM$不共线，所以$NE// AM$。又因为$NE\subset$平面$BDE$，$AM\not\subset$平面$BDE$，所以$AM//$平面$BDE$。 （2）由（1）知$\overrightarrow{AM}=(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1)$。因为$D(\sqrt{2},0,0)$，$F(\sqrt{2},\sqrt{2},1)$，所以$\overrightarrow{DF}=(0,\sqrt{2},1)$，所以$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{DF}=0$，所以$\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{DF}$，即$AM\perp DF$。同理，$\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{BF}$，即$AM\perp BF$。又$DF\cap BF = F$，且$DF\subset$平面$BDF$，$BF\subset$平面$BDF$，所以$AM\perp$平面$BDF$。

【变式训练】如图，正方形$ABCD$和四边形$ACEF$所在的平面互相垂直，$CE\perp AC$，$EF// AC$，$AB = \sqrt{2}$，$CE = EF = 1$。求证：
（1）$AF//$平面$BDE$；
（2）$CF\perp$平面$BDE$。

答案：
证明： （1）设$AC$与$BD$交于点$G$，连接$EG$。
因为$EF// AC$，且$EF = 1$，$AG=\frac{1}{2}AC = 1$，所以四边形$AGEF$为平行四边形，所以$AF// EG$。因为$EG\subset$平面$BDE$，$AF\not\subset$平面$BDE$，所以$AF//$平面$BDE$。 （2）因为正方形$ABCD$和四边形$ACEF$所在的平面互相垂直，且$CE\perp AC$，所以$CE\perp$平面$ABCD$。如图，以$C$为原点，建立空间直角坐标系$C - xyz$。则$C(0,0,0)$，$A(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，$B(0,\sqrt{2},0)$，$D(\sqrt{2},0,0)$，$E(0,0,1)$，$F(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)$。所以$\overrightarrow{CF}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)$，$\overrightarrow{BE}=(0,-\sqrt{2},1)$，$\overrightarrow{DE}=(-\sqrt{2},0,1)$。所以$\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{BE}=0 - 1 + 1 = 0$，$\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{DE}=-1 + 0 + 1 = 0$，所以$\overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{DE}$，即$CF\perp BE$，$CF\perp DE$。又$BE\cap DE = E$，且$BE\subset$平面$BDE$，$DE\subset$平面$BDE$，所以$CF\perp$平面$BDE$。