《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】
(1)若直线$x - y + 1 = 0$与圆$(x - a)^2 + y^2 = 2$有公共点，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $[-3,-1]$
B. $[-1,3]$
C. $[-3,1]$
D. $(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$
(2)过点$(3,1)$作圆$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$的弦，其中最短弦的长为 。
(3)圆心为$C(2,-1)$，截直线$y = x - 1$的弦长为$2\sqrt{2}$的圆的方程为 。

答案： C 解析 由题意可得，圆的圆心坐标为$(a,0)$，半径为$\sqrt{2}$，所以$\frac{\vert a - 0 + 1\vert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}\leq\sqrt{2}$，即$\vert a + 1\vert\leq2$，解得$-3\leq a\leq1$。@@$2\sqrt{2}$ 解析 设点$A(3,1)$，易知圆心$C(2,2)$，半径$r = 2$。当弦过点$A(3,1)$且与$CA$垂直时为最短弦，因为$\vert CA\vert=\sqrt{(2 - 3)^{2}+(2 - 1)^{2}}=\sqrt{2}$，所以半弦长为$\sqrt{r^{2}-\vert CA\vert^{2}}=\sqrt{4 - 2}=\sqrt{2}$。所以最短弦的长为$2\sqrt{2}$。@@$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=4$ 解析 设圆的半径为$r$，由条件，得圆心到直线$y = x - 1$的距离$d=\frac{\vert2 + 1 - 1\vert}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。又由题意知，半弦长为$\sqrt{2}$，所以$r^{2}=2 + 2 = 4$，得$r = 2$。所以圆的方程为$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=4$。

【例2】已知圆$C:(x - 3)^2 + y^2 = 1$。
(1)过点$P(0,1)$作直线$l$与圆$C$相切，切线长为 ，直线$l$的方程为 ；
(2)过点$P(2,3)$作直线$l$与圆$C$相切，则直线$l$的方程为 。

答案：
3 $y = 1$或$3x + 4y - 4 = 0$@@$4x + 3y - 17 = 0$或$x = 2$ 解析 （1）如图
，过点$P$作圆$C$的一条切线，切点为$Q$，连接$PC$，$CQ$，则三角形$PCQ$为直角三角形，且$\angle CQP = 90^{\circ}$。而$\vert CP\vert^{2}=3^{2}+1^{2}=10$，$\vert CQ\vert = r = 1$，所以$\vert PQ\vert^{2}=\vert PC\vert^{2}-\vert CQ\vert^{2}=10 - 1 = 9$，则$\vert PQ\vert = 3$。依题意可设直线$l:y = kx + 1$，即$kx - y + 1 = 0$，圆心$C(3,0)$到直线$l$的距离为$d=\frac{\vert3k + 1\vert}{\sqrt{1 + k^{2}}}=1$，整理得$4k^{2}+3k = 0$，解得$k = -\frac{3}{4}$或$k = 0$，故直线$l$的方程为$y = 1$或$3x + 4y - 4 = 0$。 （2）当直线$l$的斜率存在时，设直线$l:y - 3 = k(x - 2)$，即$kx - y + 3 - 2k = 0$，圆心$C(3,0)$到直线$l$的距离为$d=\frac{\vert k + 3\vert}{\sqrt{1 + k^{2}}}=1$，化简整理得$3k + 4 = 0$，即$k = -\frac{4}{3}$，这时直线$l$的方程为$4x + 3y - 17 = 0$。当直线$l$的斜率不存在时，其方程为$x = 2$，易知它与圆$(x - 3)^{2}+y^{2}=1$相切。所以直线$l$的方程为$4x + 3y - 17 = 0$或$x = 2$。

【变式训练】
(1)圆$x^{2}+y^{2}= 4$在点$P(\sqrt{3},-1)$处的切线方程为 （ ）
A. $\sqrt{3}x + y - 2 = 0$ B. $\sqrt{3}x + y - 4 = 0$
C. $\sqrt{3}x - y - 4 = 0$ D. $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$
(2)点$P$是直线$2x + y + 10 = 0$上的动点，$PA$，$PB$与圆$x^{2}+y^{2}= 4$分别相切于$A$，$B$两点，则四边形$PAOB$面积的最小值为 。

答案：
C 解析 因为$(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}=4$，所以点$P$在圆上，所以$P$为切点。因为切点与圆心连线的斜率为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以切线的斜率为$\sqrt{3}$，所以切线方程为$y + 1=\sqrt{3}(x - \sqrt{3})$，即$\sqrt{3}x - y - 4 = 0$。@@8 解析 如图所示
，因为$S_{四边形PAOB}=2S_{\triangle POA}$，又$OA\perp AP$，所以$S_{四边形PAOB}=2\times\frac{1}{2}\vert OA\vert\cdot\vert PA\vert=2\sqrt{\vert OP\vert^{2}-\vert OA\vert^{2}}=2\sqrt{\vert OP\vert^{2}-4}$。为使四边形$PAOB$面积最小，当且仅当$\vert OP\vert$达到最小，又$\vert OP\vert$的最小值为点$O$到直线$2x + y + 10 = 0$的距离，即$\vert OP\vert_{min}=\frac{10}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=2\sqrt{5}$，故所求最小值为$2\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-4}=8$。

【例3】如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面$2\ m$，水面宽$12\ m$，当水面下降$1\ m$后，水面宽为 m。

答案：
$2\sqrt{51}$ 解析 如图
，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为$y$轴，建立直角坐标系。设圆心为$C$，圆的方程设为$x^{2}+(y + r)^{2}=r^{2}(r＞0)$，水面所在弦的端点为$A$，$B$，则$A(6,-2)$。将$A(6,-2)$代入圆的方程，得$r = 10$，则圆的方程为$x^{2}+(y + 10)^{2}=100$。当水面下降$1m$后，可设点$A'(x_{0},-3)(x_{0}＞0)$，将$A'(x_{0},-3)$代入圆的方程，得$x_{0}=\sqrt{51}$，所以当水面下降$1m$后，水面宽为$2x_{0}=2\sqrt{51}(m)$。

【变式训练】一辆卡车宽$1.6\ m$，要经过一个半圆形隧道(半径为$3.6\ m$)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过（$\sqrt{0.77}\approx0.877$） （ ）
A. $1.4\ m$
B. $3.5\ m$
C. $3.6\ m$
D. $2.0\ m$

答案：
B 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为$h$，则$A(0.8,h)$，半圆所在圆的方程为$x^{2}+y^{2}=3.6^{2}$，把点$A$的坐标代入上式可得，$0.8^{2}+h^{2}=3.6^{2}$，解得$h = 4\sqrt{0.77}\approx3.5(m)$。