《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

（2）已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且$AB\perp BF$，则椭圆的离心率为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案： D 解析：在$Rt\triangle ABF$中，$|AB|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$|BF| = a$，$|AF| = a + c$，由$|AB|^{2}+|BF|^{2}=|AF|^{2}$，得$a^{2}+b^{2}+a^{2}=(a + c)^{2}$。将$b^{2}=a^{2}-c^{2}$代入，得$a^{2}-ac - c^{2}=0$，即$e^{2}+e - 1 = 0$，解得$e=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，因为$0\lt e\lt1$，所以$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。故选D。

（3）椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的两个焦点是$F_{1}$，$F_{2}$，若P为其上一点，且$|PF_{1}| = 5|PF_{2}|$，则此椭圆离心率的取值范围是 （ ）
A. $(0,\frac{2}{3})$
B. $(0,\frac{2}{3}]$
C. $[\frac{2}{3},1)$
D. $(\frac{2}{3},1)$

答案： C 解析：由题意可知$|PF_1|+|PF_2| = 2a$，$|PF_1| = 5|PF_2|$，则$|PF_1|=\frac{5a}{3}$，$|PF_2|=\frac{a}{3}$，因为$|PF_1|-|PF_2|\leqslant|F_1F_2|$，所以$\frac{4a}{3}\leqslant2c$，$e\geqslant\frac{2}{3}$。又$e\lt1$，所以椭圆离心率的取值范围是$[\frac{2}{3},1)$。

（1）如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 （ ）

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： B 解析：设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为$\frac{2}{\sin60^{\circ}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即长半轴长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以半焦距为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故离心率为$\frac{1}{2}$。

（2）已知$F_{1}$，$F_{2}$是椭圆的两个焦点，满足$\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}} = 0$的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）
A. (0，1)
B. $(0,\frac{1}{2}]$
C. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$
D. $[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

答案： C 解析：依题意得，$c\lt b$，即$c^{2}\lt b^{2}$，所以$c^{2}\lt a^{2}-c^{2}$，$2c^{2}\lt a^{2}$，故离心离$e=\frac{c}{a}\lt\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$0\lt e\lt1$，所以$0\lt e\lt\frac{\sqrt{2}}{2}$。

1. 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标为 （ ）
A. $(\pm10,0)$
B. $(\pm\sqrt{69},0)$
C. $(0,\pm13)$
D. $(0,\pm\sqrt{69})$

答案： D 解析：由题意知椭圆焦点在$y$轴上，且$a = 13$，$b = 10$，则$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{69}$，故焦点坐标为$(0,\pm\sqrt{69})$。故选D。

2. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为$(-\sqrt{3},0)$，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 （ ）

A. $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
B. $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$
C. $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$
D. $x^{2}+\frac{y^{2}}{3}=1$

答案： A 解析：因为一个焦点为$(-\sqrt{3},0)$，所以焦点在$x$轴上且$c=\sqrt{3}$。因为长轴长是短轴长的2倍，所以$2a = 2\cdot2b$，即$a = 2b$，所以$(2b)^{2}-b^{2}=3$，所以$b^{2}=1$，$a^{2}=4$，故标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$。故选A。

3. 椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10，两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5，则椭圆的离心率为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案： C 解析：依题意有$2ab = 10$，$2bc = 5$，所以$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。故选C。

4. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的左、右焦点为$F_{1}$，$F_{2}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过$F_{2}$的直线l交C于A，B两点，若$\triangle AF_{1}B$的周长为$4\sqrt{3}$，则椭圆C的方程为________。

答案： $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 解析：由椭圆的定义可得，$|AF_1|+|AF_2| = 2a$，$|BF_1|+|BF_2| = 2a$。又因为$|AF_1|+|AF_2|+|BF_1|+|BF_2| = 4\sqrt{3}$，所以$4a = 4\sqrt{3}$，解得$a=\sqrt{3}$，又因为$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$c = 1$，所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=2$，所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$。