《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

从海上日出整个情景中，你能得到直线与圆的几种位置关系？

答案：

1. 直线$Ax + By + C = 0$与圆$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$的位置关系及判断
|位置关系|相交|相切|相离|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|公共点个数| 两 个| 一 个| 零 个|
|判断方法|几何法：设圆心到直线的距离为$d = \frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$| | |
| |代数法：由$\begin{cases}Ax + By + C = 0\\(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\end{cases}$，消元得到一元二次方程，可得方程的根的判别式$\Delta$| | |

答案： 2@@1@@0@@$\frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$@@$d ＜ r$@@$d ＞ r$@@$\Delta＞0$@@$\Delta＜0$@@

微思考
利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法简单？

答案： 提示：一般几何法较简单。

2.直线与圆的方程的应用

用坐标法解决平面几何问题的“三步骤”

第一步：建立_____ 平面直角坐标系，用_____表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为_____ ；
第二步：通过代数运算，解决_____；
第三步：把 _____“翻译”成几何结论。

答案： 适当的坐标和方程@@代数问题@@代数问题@@代数运算的结果@@

【例1】
(1)直线$l:mx - y + 1 - m = 0$与圆$C:x^{2}+(y - 1)^{2}= 5$的位置关系是 （ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
(2)求直线$l:3x + y - 6 = 0$被圆$C:x^{2}+y^{2}-2y - 4 = 0$截得的弦长。

答案： A 解析 解法一：直线$l:mx - y + 1 - m = 0$过定点$(1,1)$，因为点$(1,1)$在圆$x^{2}+(y - 1)^{2}=5$的内部，所以直线$l$与圆相交。 解法二：（几何法）由题意知，圆心$(0,1)$到直线$l$的距离$d=\frac{\vert m\vert}{\sqrt{m^{2}+1}}＜1＜\sqrt{5}$，故直线$l$与圆相交。@@解 解法一：圆$C:x^{2}+y^{2}-2y - 4 = 0$可化为$x^{2}+(y - 1)^{2}=5$，其圆心坐标为$(0,1)$，半径$r = \sqrt{5}$。点$(0,1)$到直线$l$的距离为$d=\frac{\vert3\times0 + 1 - 6\vert}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，弦长为$2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=\sqrt{10}$，所以截得的弦长为$\sqrt{10}$。 解法二：设直线$l$与圆$C$交于$A$，$B$两点。由$\begin{cases}3x + y - 6 = 0\\x^{2}+y^{2}-2y - 4 = 0\end{cases}$，得交点$A(1,3)$，$B(2,0)$，所以弦$AB$的长为$\vert AB\vert=\sqrt{(2 - 1)^{2}+(0 - 3)^{2}}=\sqrt{10}$。