《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

1.已知点$A(2,0)$,$B(3,3)$,直线$l// AB$,则直线$l$的斜率$k$等于（ ）
A.$-3$
B.3
C.$-\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： B 解析 因为$l// AB$，且直线$AB$的斜率$k = \frac{3 - 0}{3 - 2} = 3$，所以直线$l$的斜率$k = 3$。

2.若点$P(a,b)$与$Q(b - 1,a + 1)$关于直线$l$对称，则$l$的倾斜角为（ ）
A.$135^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： B 解析 $k_{PQ} = \frac{a + 1 - b}{b - 1 - a} = -1$，$k_{PQ}·k_{l} = -1$，所以$l$的斜率为1，倾斜角为$45^{\circ}$。

3.已知点$A(2,3)$,$B(1,-1)$,$C(-1,-2)$,点$D$在$x$轴上，则当点$D$坐标为________时，$AB\perp CD$。

答案： $(-9,0)$ 解析 设点$D(x,0)$，因为$k_{AB} = \frac{-1 - 3}{1 - 2} = 4 \neq 0$，所以直线$CD$的斜率存在。则由$AB\perp CD$，知$k_{AB}·k_{CD} = -1$，所以$4·\frac{-2 - 0}{-1 - x} = -1$，解得$x = -9$。

4.直线$l$的倾斜角为$30^{\circ}$，点$P(2,1)$在直线$l$上，直线$l$绕点$P(2,1)$按逆时针方向旋转$30^{\circ}$后到达直线$l_1$的位置，若直线$l_1$与$l_2$平行，且$l_2$是线段$AB$的垂直平分线，其中$A(1,m - 1)$,$B(m,2)$，则实数$m$的值是________。

答案： $4 + \sqrt{3}$ 解析 由题意知直线$l_1$的倾斜角为$30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$，所以直线$l_1$的斜率$k_1 = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$。当$m = 1$时，直线$AB$的斜率不存在，此时$l_2$的斜率为0，不满足$l_1// l_2$。当$m = 3$时，直线$AB$的斜率为0，此时$l_2$的斜率不存在，不满足$l_1// l_2$。当$m\neq1$且$m\neq3$时，直线$AB$的斜率为$\frac{m - 1 - 2}{1 - m} = \frac{m - 3}{1 - m}$，所以线段$AB$的垂直平分线$l_2$的斜率$k_2 = \frac{m - 1}{m - 3}$。因为$l_1// l_2$，所以$k_1 = k_2$，即$\sqrt{3} = \frac{m - 1}{m - 3}$，解得$m = 4 + \sqrt{3}$。

5.已知四边形$MNPQ$的顶点$M(1,1)$,$N(3,-1)$,$P(4,0)$,$Q(2,2)$，求证：四边形$MNPQ$为矩形。

答案： 证明 因为$k_{MN} = \frac{1 + 1}{1 - 3} = -1$，$k_{PQ} = \frac{2 - 0}{2 - 4} = -1$，所以$MN// PQ$。又因为$k_{MQ} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = 1$，$k_{NP} = \frac{0 + 1}{4 - 3} = 1$，所以$MQ// NP$，所以四边形$MNPQ$为平行四边形。又$k_{MN}·k_{MQ} = -1$，所以$MN\perp MQ$，所以四边形$MNPQ$为矩形。

1. 直线的点斜式方程
（1）定义：如图①所示，直线 $l$ 经过点 $P_0(x_0,y_0)$，且斜率为 $k$，则方程_______________叫做直线 $l$ 的点斜式方程，简称点斜式。
（2）如图②所示，过点 $P_0(x_0,y_0)$，倾斜角是 $90^{\circ}$的直线没有点斜式，其方程是 $x - x_0 = 0$，即______

答案： $y - y_0 = k(x - x_0)$@@$x = x_0$@@

2. 直线的斜截式方程
定义：如图所示，直线 $l$ 的斜率为 $k$，且与 $y$ 轴的交点为 $P_0(0,b)$，其中纵坐标 $b$ 叫做直线 $l$ 在 $y$ 轴上的______。则方程______叫做直线 $l$ 的斜截式方程，简称斜截式。

当倾斜角是______的直线没有斜截式方程。

答案： 截距@@$y = kx + b$@@直角@@

微思考
1. 直线的点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线呢？
2. 直线在 $y$ 轴上的截距和直线与 $y$ 轴交点到原点的距离是一回事吗？

答案： 提示：不能。有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于 $x$ 轴的直线，其方程都不能用点斜式表示。@@提示：不是，直线在 $y$ 轴上的截距是它与 $y$ 轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0。当截距非负时，它等于直线与 $y$ 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与 $y$ 轴交点到原点距离的相反数。