《2025年赢在微点高中数学选择性必修第一册A版》

【变式训练】如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$AB = AD = 1$，$AA_1 = 2$，点$P$为$DD_1$的中点，求证：直线$PB_1 \perp$平面$PAC$。

答案：
证明 根据题意，以 $D$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $Dxyz$，
则 $C(1,0,0)$，$P(0,0,1)$，$A(0,1,0)$，$B_1(1,1,2)$。于是 $\overrightarrow{CA}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{CP}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{PB_1}=(1,1,1)$，所以 $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{PB_1}=(-1,1,0)\cdot(1,1,1)=0$，$\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{PB_1}=(-1,0,1)\cdot(1,1,1)=0$，故 $\overrightarrow{CP}\perp\overrightarrow{PB_1}$，$\overrightarrow{CA}\perp\overrightarrow{PB_1}$，即 $PB_1\perp CP$，$PB_1\perp CA$，又 $CP\cap CA = C$，且 $CP\subset$ 平面 $PAC$，$CA\subset$ 平面 $PAC$，故直线 $PB_1\perp$ 平面 $PAC$。

【变式训练】如图，在四棱锥$E - ABCD$中，$AB \perp$平面$BCE$，$CD \perp$平面$BCE$，$AB = BC = CE = 2CD = 2$，$\angle BCE = 120^{\circ}$，求证：平面$ADE \perp$平面$ABE$。

答案：
证明 取 $BE$ 的中点 $O$，连接 $OC$，因为 $AB\perp$ 平面 $BCE$，所以以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系（如图所示）
。则有 $C(1,0,0)$，$B(0,\sqrt{3},0)$，$E(0,-\sqrt{3},0)$，$D(1,0,1)$，$A(0,\sqrt{3},2)$。于是 $\overrightarrow{AE}=(0,-2\sqrt{3},-2)$，$\overrightarrow{DA}=(-1,\sqrt{3},1)$。设平面 $ADE$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}=(a,b,c)$，则 $\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=-2\sqrt{3}b - 2c = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DA}=-a+\sqrt{3}b + c = 0\end{cases}$，令 $b = 1$，则 $a = 0$，$c = -\sqrt{3}$，所以 $\boldsymbol{n}=(0,1,-\sqrt{3})$ 为平面 $ADE$ 的一个法向量。又 $AB\perp$ 平面 $BCE$，$OC\subset$ 平面 $BCE$，所以 $AB\perp OC$。因为 $BE\perp OC$，$AB\cap BE = B$，$AB,BE\subset$ 平面 $ABE$，所以 $OC\perp$ 平面 $ABE$。所以平面 $ABE$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{m}=(1,0,0)$。因为 $\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{m}=(0,1,-\sqrt{3})\cdot(1,0,0)=0$，所以 $\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{m}$，所以平面 $ADE\perp$ 平面 $ABE$。

【例3】如图，在正三棱锥$P - ABC$中，三条侧棱两两互相垂直，$G$是$\triangle PAB$的重心，$E$，$F$分别为$BC$，$PB$上的点，且$BE:EC = PF:FB = 1:2$。求证：平面$GEF \perp$平面$PBC$。

答案：
证法一：如图，以三棱锥的顶点 $P$ 为原点，以 $PA,PB,PC$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系。
令 $PA = PB = PC = 3$，则 $A(3,0,0)$，$B(0,3,0)$，$C(0,0,3)$，$E(0,2,1)$，$F(0,1,0)$，$G(1,1,0)$，$P(0,0,0)$，于是 $\overrightarrow{PA}=(3,0,0)$，$\overrightarrow{FG}=(1,0,0)$，故 $\overrightarrow{PA}=3\overrightarrow{FG}$，所以 $PA// FG$。而 $PA\perp$ 平面 $PBC$，所以 $FG\perp$ 平面 $PBC$。又 $FG\subset$ 平面 $EFG$，所以平面 $EFG\perp$ 平面 $PBC$。@@证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则 $E(0,2,1)$，$F(0,1,0)$，$G(1,1,0)$。所以 $\overrightarrow{EF}=(0,-1,-1)$，$\overrightarrow{EG}=(1,-1,-1)$。设平面 $GEF$ 的法向量是 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则有 $\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{EF}$，$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{EG}$。所以 $\begin{cases}y + z = 0\\x - y - z = 0\end{cases}$。令 $y = 1$，得 $z = -1$，$x = 0$，即 $\boldsymbol{n}=(0,1,-1)$ 是平面 $GEF$ 的一个法向量。显然 $\overrightarrow{PA}=(3,0,0)$ 是平面 $PBC$ 的一个法向量。又 $\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PA}=0$，所以 $\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{PA}$，即平面 $PBC$ 的法向量与平面 $GEF$ 的法向量互相垂直，所以平面 $GEF\perp$ 平面 $PBC$。